INTRODUCCION A LAS FUNCIONES

Esta unidad introduce el modelo de representación cartesiana como paso precio al estudio de funciones. A continuación se pretende que todas las personas que están visitando esta pagina aprendan de forma sencilla que es una función y como se construye, así como a manejar las funciones, interpretarlas y extraer datos de ellas. En definitiva se pretende que las personas entiendan las funciones como una forma de relacionar dos magnitudes de manera gráfica.

DEFINICION DE FUNCIONES

Una función es una relación establecida entre dos conjuntos A y B que asigna a cada valor del conjunto A( Variable independiente) un único valor del segundo conjunto(Variable dependiente).

NOTACION DE FUNCIONES

La notación de la función es una manera de escribir funciones que aclara el nombre de la función, de las variables independientes, de las variables de pendientes, y de la regla de la transformación.

En el ejemplo vemos que, f(x) es la variable dependiente, f es el nombre de la función, x es la variable independiente, y 3x +2 es la regla de la transformación.

CONDICIONES DE EXISTENCIA Y UNICIDAD

CONDICIÓN DE EXISTENCIA

• Cada elemento del conjunto de partida esta relacionado al menos una vez con uno con varios elementos del conjunto de llegada.
• El dominio de la relación es igual al conjunto de partida.
• Todos los elementos del conjunto de partida forman parte de la relación.

Vemos que la función de la izquierda si cumple con la condición de existen, porque cumple con los tres puntos que vimos anteriormente.

DOMINIO E IMAGEN DE FUNCIÓN

Se llama dominio de una función f, y se designa dom f, al conjunto de valores de la variable independiente x para los que existe la función, es decir, para los que hay un valor de la variable dependiente y.

Se llama dominio de imagen o recorrido de una función, y se designa Im f, a todos los valores de la variable dependiente que tienen algún valor de la variable independiente que se transforma en el por la función.
                           

Vemos que el dominio es {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}, porque esos números tienen flecha que salen y se relacionan con los elementos del conjunto y.

Vemos que el dominio es {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, porque tiene un valor de la variable independiente que es el conjunto x.

CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES

FUNCIÓN INYECTIVA

Cada elemento del conjunto de llegada corresponde como máximo a un elemento del conjunto de partida.

Vemos que el elemento d del conjunto de llegada no esta relacionada con un elemento del conjunto de partida sin embargo esto no quiere decir que esta funcion no es inyectiva ya que aunque uno o mas elementos del conjunto de llegada no tengan una relacion sigue siendo una funcion inyectiva.

FUNCIÓN INVERSA

Sea f una función que asigna a los elementos de un primer conjunto(conjunto inicial X) un elemento de un segundo conjunto(conjunto final Y). La función inversa(o función reciproca)  de f (denotada por f^-1) es aquella que hace el camino inverso, asignando a los elementos de Y elementos de X.

Formalmente, diremos que f ^-1 es la inversa de f si:

Si f(x) = y entonces f ^-1 (y) = x

Para que una función f tenga inversa necesariamente deber ser inyectiva.

Ademas, tanto f como f ^-1 deben de ser biyectivas.

• El dominio de f ^-1 es el recorrido de f.
• El recorrido de f ^-1 es el dominio de f.
• La inversa de la función inversa es la propia función:

                                                    (f^-1)^-1 =  f

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

La composición de funciones es la imagen resultado de la aplicación sucesiva de dos o mas funciones sobre un mismo elemento x.

Siendo f y g dos funciones, se define la composición de dos funciones (denotada por g o f) como:

La composición de funciones se realiza aplicando dichas funciones en orden de derecha a izquierda, de manera que en (g o f) (x) primero actúa la función f y luego la g sobre f(x).

 la derivada de una composición de funciones se realiza por la llamada regla de la cadena. Consiste en derivar también en orden de derecho a izquierda. Se deriva primero a la función exterior g (pero evaluada sobre la función interior f) multiplicando por la derivada de la función interior f, según esta secuencia.

INTRODUCCIÓN MATRICES

Matriz introducción

En matemáticas, una matriz es un arreglo bidimensional de números. Dado que puede
definirse tanto la suma como el producto de matrices, en mayor generalidad se dice que son elementos de un anillo. Una matriz se representa por medio de una letra mayúscula (A,B, …) y sus elementos con la misma letra en minúscula (a,b, …), con un doble subíndice donde el primero indica la fila y el segundo la columna a la que pertenece.

DEFINICIÓN DE MATRICES

Definición

Una matriz es un arreglo bidimensional de números (llamados entradas de la matriz) ordenados en filas (o renglones) y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina «matriz m por n» (escrito ) donde . El conjunto de las matrices de tamaño se representa como , donde es el campo al cual pertenecen las entradas. El tamaño de una matriz siempre se da con el número de filas primero y el número de columnas después.


Se dice que dos matrices son iguales si tienen el mismo tamaño y los mismos elementos en las mismas posiciones. A la entrada de una matriz que se encuentra en la fila ésima y la columna ésima se le llama entrada o entrada -ésimo de la matriz. En estas expresiones también se consideran primero las filas y después las columnas.

NOTACIÓN DE MATRICES

Una matriz es una tabla cuadrada o rectangular de datos (llamados elementos) ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m-por-n (escrito m×n). Las dimensiones de una matriz siempre se dan con el número de filas primero y el número de columnas después.

Comúnmente se dice que una matriz m-por-n tiene un orden de m × n ("orden" tiene el significado de tamaño). Dos matrices se dice que son iguales si son del mismo orden y tienen los mismos elementos.

Ejemplo:

Dada la matriz:



que es una matriz 4x3. El elemento A[2,3] es el 7

La matriz:

es una matriz 1×9, o un vector fila con 9 elementos.

ARITMÉTICA MATRICIAL SUMA Y MULTIPLICACIÓN

Una matriz es un arreglo rectangular de números. Los números del arreglo se conocen como Elementos de la matriz. Si A y B son matrices del mismo tamaño, entonces la suma A + B es la matriz que se obtiene al sumar los elementos correspondientes de las dos matrices. Las matrices de tamaños diferentes NO SE PUEDEN SUMAR. A + B se hace punto a punto. Sumamos el elemento a11 mas el elemento b11, posteriormente el elemento a12 mas el elemento b12, el elemento a13 mas elemento b13, y así sucesivamente.

Si A es una matriz cualquiera y c es cualquier escalar, entonces el producto cA es la matríz que se obtiene al multiplicar cada elemento de A por c.

MATRIZ IDENTIDAD Y TRANSPUESTA

Una matriz identidad o unidad de orden n es una matriz cuadrada donde todos sus elementos son ceros (0) menos los elementos de la diagonal principal que son unos (1).


En otras palabras, una matriz identidad solo tiene unos (1) en la diagonal principal y todos los demás elementos de la matriz con ceros (0). Además, la matriz identidad se reconoce por tener forma a cuadrado dado que es una matriz cuadrada

Representación de una matriz identidad

Podemos crear infinitas combinaciones de matrices unidad siempre y cuando respetemos la condición de ser una matriz cuadrada: tener el mismo número de filas (n) y de columnas (m).

Transpuesta

Una matriz traspuesta es el resultado de reordenar la matriz original mediante el cambio de filas por columnas y las columnas por filas en una nueva matriz.

En otras palabras, la matriz traspuesta es la acción de seleccionar las filas de la matriz original y reescribirlas como columnas en la nueva matriz e invertir el proceso para las columnas.
Generalmente cuando cambiamos las filas por columnas y las columnas por filas lo indicamos añadiendo un superíndice T o un apóstrofe en el nombre de la matriz original. Si añadimos el superíndice T, deberemos tener presente que estamos trabajando con matrices y que el superíndice no es ningún exponente.

ARITMETICA

                     

La aritmética es el estudio de los números.La aritmética es una rama de las matemáticas y su estudio involucra las operaciones básicas de la aritmética que son la suma (+), la resta (-), la multiplicación (x o *) y la división (÷ o /).

Para lograr saber hacer todo esto es necesario saber:

Sistema de números realesEs el conjunto de todos los números racionales e irracionales, enteros y naturales.

                       

Números reales: son todos los números que empleamos para expresarnos normalmente, por ejemplo: 3 manzanas, 5 pizzas, etc. Sin incluir el 0
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10…
Números enteros: son el conjunto de los números positivos y números negativos.
-2,-4,-199,-300, 1, 2, 3, 7, 24,69…
Números racionales: estos son los números que pueden expresarse como una fracción.
Y una fracción es la división de dos números enteros.
Todos los números que tengan decimal finito, o decimal periódico son números racionales.
Recordemos que todos los números enteros tienen un 1 debajo de ellos, por lo que los hacen números racionales
Una fracción es una división de números enteros que se utilizan para medir cantidades de cosas, por ejemplo: ½ de aceite, 1/5 de harina, etc.
Números irracionales: son los números reales que no se pueden expresar en fracción. Por ejemplo, las raíces, y π (3.1416).

FRACCIONES

Se considera como fracción a la representación de las partes de un todo, es decir, se divide en partes iguales y cada parte es la fracción del entero.


Las fracciones están compuesta por un término superior llamado numerador y un término inferior conocido como denominador separados por una barra oblicua u horizontal

Operaciones con fracciones
Suma y resta

En cuanto a la suma y resta con iguales denominadores se mantiene la misma base y se suman o restan los numeradores. Por ejemplo:

3/4 + 5/4 = 8/4

3/4 - 5/4 = 2/4

para sumar y restar fracciones con denominadores diferentes se debe multiplicar en cruz los numeradores con los denominadores y sumar o restar dependiendo de la operación ambos resultados para obtener el numerador final. Luego se debe multiplicar los denominadores para obtener el denominador final. Cuando se obtiene el resultado se debe simplificar hasta su más mínima expresión

3/2 + 4/3 = (9 + 8)/6 = 17/ 6

3/2 - 4/3 = (9 - 8)/6 = 1/6

Multiplicación

En las fracciones, se multiplican los numeradores entre sí, y de igual manera sucede con los denominadores.

3/4 x 7/9 = 21/36

División

Se multiplica la primera fracción por el inverso de la segunda, es decir, se invierte el numerador y denominador de la segunda fracción.

OPERACIONES ARITMETICAS

Los números representan unidades de cosas; pero es posible utilizarlos como solamente números; y de esa forma, realizar con ellos diversas operaciones que sirven para realizar cálculos que son muy útiles; y que se llaman operaciones aritméticas.


Esas operaciones son:

— La SUMA: (también llamada ADICIÓN), que se representa con el signo de MÁS: +

— La RESTA: (también llamada SUSTRACCIÓN o DIFERENCIA) que se representa con el signo de MENOS: –

— La MULTIPLICACIÓN: que se representa con el signo de POR: ×

— La DIVISIÓN: que se representa con el signo de DIVIDIDO: ÷

El resultado de las operaciones, se representa utilizando el signo de IGUAL: =

Fracciones complejas





Generalmente, una fracción compleja está formada por dos fracciones, una encima de la otra (el numerador, el denominador o ambos contienen una fracción). En realidad, es una relación de dos fracciones.

Para convertir una fracción compleja en una fracción simple, tenemos que reescribirla como una división:



También podemos multiplicar el numerador superior por el denominador inferior y el denominador superior por el numerador inferior:


Si solo el numerador o el denominador contiene una fracción, reescribimos el otro como fracción y luego dividimos o multiplicamos:

POTENCIACIÓN

Propiedades: Producto de potencias de igual base

Como bien dice su nombre, si dos bases son iguales (el mismo número o variable), y son los factores de una multiplicación, ambas bases quedan en una sola y sus exponentes son sumados.
Si queremos multiplicar dos potencias de la misma base, por ejemplo, 43 * 45 hacemos el siguiente razonamiento:

LOGARITMO

Un logaritmo solo está definido para números positivos. Es decir, Log X será definido para todo X > 0. Y léase que el 0 no está incluido en la definición. Por lo que Log 0 es error matemático o indefinido.
Así mismo, el resultado de un logaritmo puede ser cualquier número. Por lo que, el alcance de una función logarítmica, es decir, su imagen, se encuentra en el rango (−∞,∞).

Propiedades de los logaritmos

Logaritmo de la unidad: Si recordamos la propiedad de las potencias llamada “producto de exponente cero”, podemos afirmar que para cualquier base, el logaritmo tanto neperiano como común-de 1, es siempre 0.

Logaritmo de la base: 

El logaritmo del argumento cuando es coincidente con la base, es 1.

Logaritmo de un producto:

Cuando tenemos dos números multiplicándose entre si, el logaritmo de éstos es igual a la suma de ambos logaritmos (siempre en la misma base).

Logaritmo de una división: 

En otra parte, el logaritmo de una división, puede separarse en una resta de logaritmos de igual base.

Logaritmo de una potencia: 

El exponente del argumento, luego pasará multiplicando al logaritmo del argumento.

NOTA: recordar que el camino inverso es importante. Pasar de una multiplicación escalar-logaritmo, al logaritmo de una exponencial, es muy usado en matemáticas.
Logaritmo de una raiz: Si el argumento ejerce de radicando de una raíz, el índice, será quien pase multiplicando al logaritmo del argumento, pero esta vez como denominador de una fracción cuyo denominado es 1. O sea, es el inverso del mismo.

Logaritmo cambio de base:


Cuando se buscar hallar el logaritmo y no sabemos como calcularlo, esta propiedad es esencial. Puesto que, nos permite cambiar de base a cualquier expresión logarítmica. Lo que se debe hacer es formar una fracción donde el numerador sea el logaritmo en una base cualquiera del argumento original; y el denominador sea el logaritmo, en la misma base cualquiera del numerador, pero esta vez el argumento será la base original. Formando lo siguiente:

Véase que ambos comparten una base arbitraria “d”