POTENCIACIÓN

Propiedades: Producto de potencias de igual base

Como bien dice su nombre, si dos bases son iguales (el mismo número o variable), y son los factores de una multiplicación, ambas bases quedan en una sola y sus exponentes son sumados.
Si queremos multiplicar dos potencias de la misma base, por ejemplo, 43 * 45 hacemos el siguiente razonamiento:

Cociente de potencias de igual base:

Las bases, que nuevamente deben ser iguales, son parte de una división. Como antes, nos quedamos con una sola base, y ahora sus exponentes se restan.
De manera similar al producto, puedes deducir la siguiente regla general:
El cociente de dos potencias de la misma base es otra potencia de la misma base cuyo exponente es la diferencia entre el exponente del dividendo y el del divisor.

Nota: Tener en cuenta que a veces hay que aplicar las propiedades de derecha a izquierda, es decir, no estar solo atentos a que si tenemos un producto de potencias de igual base, hay que sumar los exponentes, sino que también, si tenemos una base elevada a una suma, estas habilitado a separar esa suma como exponente.

Potencia de un productoPotencia de un producto es igual al producto de cada uno de los factores elevado a una potencia
Si queremos realizar la siguiente operación: (2*3)2, observamos que(2*3)3 = (2*3) * (2*3) * (2*3) = (2*2*2) * (3*3*3) = 23 * 33

Para calcular el resultado podemos multiplicar 2*3 y elevar el producto al cubo: (2*3)3 = 63 = 216
O bien, elevar al cubo cada uno de los factores 23 = 8 y 33= 27 y multiplicar el resultado

8*27 = 216.

Potencia de un cocienteDe manera similar al caso de la potencia de un producto es fácil deducir que
La potencia de un cociente es igual al cociente entre la potencia del dividendo y la del divisor

                                                     (a/b)m = am / bm

Potencia de una potencia
Si queremos calcular (45)3 utilizamos la siguiente razonamiento:

(45)^3 = 45 * 45 * 45 = 45+5+5 = 45*3

Y deducimos así la siguiente regla:
Una potencia elevada a un número es igual a otra potencia de la misma base y cuyo exponente es igual al producto del exponente de la potencia por el número al que se eleva:
(am)^n = am*n

Potencia de exponente negativo
En estos casos, se obtiene el inverso de la expresión. Es decir, si tenemos una fracción, intercambiamos numerador por denominador (la damos vuelta); y si tenemos un entero, ese número se transforma en el denominador de una fracción cuyo numerador es 1. Luego, elevamos la fracción entera al exponente en cuestión.

                                                      

Potencia de exponente cero: 

Cuando una base está elevada a 0, el resultado siempre es 1.

                                                         

Distributividad de la potencia:

La potencia es distributiva solo con respecto a la multiplicación y la división. No así respecto a las sumas y resta, lo que es un error muy común y muy grave.

Potencia de radicales
Para elevar un radical a una potencia, se eleva a dicha potencia el radicando y se deja el mismo índice.

Elevamos el radicando al cuadrado, descomponemos 18 en factores y los elevamos al cuadrado y por último extraemos factores

Elevamos los radicandos a la cuarta, descomponemos en factores los radicandos y extraemos el 18 del radical

En los radicando realizamos las operaciones con potencias y ponemos a común índice para poder efectuar la división

Simpificamos el radical dividiendo por 2 el índice y los exponentes del radicando y realizamos una división de potencias con el mismo exponente